continuità, derivabilità e differenziabilità

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continuità, derivabilità e differenziabilità

in questo capitolo guardiamo teoria ed esempi su continuità, derivabilità e differenziabilità

CONTINUITà

Una funzione è continua in \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) se \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\).

DERIVATA DIREZIONALE

Sia \(\mathbf{\hat{v}}=\left( {{v}_{x}},{{v}_{y}} \right)\) un generico versore, si definisce derivata della funzione \({{D}_{\mathbf{v}}}\left( f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right)\) nella direzione definita dal versore \(\mathbf{\hat{v}}\):

\(\frac{\partial }{\partial v}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+t{{v}_{x}},{{y}_{0}}+t{{v}_{y}} \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}\)

In alternativa è possibile calcolare la derivate parziale in forma vettoriale, attaverso il prodotto scalare tra gradiente della funzione e versore \(\mathbf{\hat{v}}\).

\({{D}_{\mathbf{v}}}\left( f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right)=\nabla f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\,\centerdot \,\mathbf{\hat{v}}\)

DERIVABILITà

Una funzione è derivabile se esistono le derivate direzionali in tutte le direzioni. Per verificare la derivabilità di una funzione è sufficiente verificare che la funzione ammette tutte le derivate parziali.

é quinidi derivabile in \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) se esistono e sono finite le derivate parziali.

\(\frac{\partial }{\partial x}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+t,{{y}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}\)

\(\frac{\partial }{\partial y}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}}+t \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}\)

DIFFERENZIABILITà

Una funzione si dice differenziabile se

  1. La funzione è derivabile
  2. L’errore \(\varepsilon \left( h,k \right)\) che si commette con un’approssimazione del primo ordine ovvero mediante il piano tangente in un punto \({{P}_{h}}=\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+k \right)\) ad una distanza infinitesima dal punto \(P=\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto alla distanza che c’è tra i due punti:

\(\varepsilon \left( h,k \right)=o\left( d\left( \overrightarrow{{{P}_{h}}P} \right) \right)=o\left( \sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)\) , se \(\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)\)

\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+k \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)-h\,\,{{{{f}’}}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)-k\,{{{{f}’}}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}=0\)

TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE

 

Sia \(f:A\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile nell’aperto \(A\) , cioè esistono le derivate parziali \({{{f}’}_{x}}\left( x,y \right)\) ,\({{{f}’}_{y}}\left( x,y \right)\) \(\forall \left( x,y \right)\in A\) . Se le derivate parziali sono continue in \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},y_{0}^{{}} \right)\) allora la funzione è differenziabile in \({{P}_{0}}\).

Questo teorema se verificate le ipotesi permette di verificare che la funzione è differenziabile. Viceversa se le derivate parziali non sono continue allora non si può dire nulla sulla differenziabilità.

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