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Ripetizioni per studenti universitari di analisi matematica 1,  analisi matematica 2, fisica 1, fisica 2, algebra e geometria lineare. Le lezioni sono tenute sia dal vivo che online. Per info e prenotazioni scrivimi  WhatsApp al 328 97 25 824

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Ing. Casparriello Marco

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CHI SONO

Ciao a tutti , mi presento mi chiamo Casparriello Marco e sono un ingegnere e professore. Sin dai tempi del liceo ho nutrito la passione per la matematica e la fisica.

Nel 2007 all’età di 19 anni mi sono trasferito a Pisa per iniziare gli studi in ingegneria delle telecomunicazioni. Nel 2010 ho conseguito a pieni voti la laurea triennale discutendo una tesi sui metamateriali.

Nel 2013 ho invece conseguito a pieni voti la laurea magistrale in ingegneria delle telecomunicazioni discutendo una tesi intitolata “Simulatore software di un sonar a scansione laterale”.

Nello stesso anno ho lavorato come progettista di apparati acustici nella Marina Militare di la Spezia.

Nel 2014 sono risultato vincitore di un concorso di Dottorato presso l’Università di Modena, con argomento di ricerca “sistemi inerziali per la navigazione in ambienti interni”. Durante questo periodo ho collaborato con Docenti Universitari e sono stato coautore di articoli di ricerca su riviste internazionali, come questo. Grazie a questa esperienza ho acquisito delle ottime conoscenze della matematica a livelli avanzati e ho approfondito la mia esperienza nell’utilizzo del software MATLAB.  Attualmente offro consulenza nello sviluppo di software di simulazione e per sviluppo tesi in MATLAB.

Durante il periodo Modenese ho gestito un centro didattico www.ripetizionimodena.it insieme alla mia ex compagna. Ho avuto modo di gestire un gruppo di tutor esperti in varie discipline e a vari livelli. Ho preparato centinaia di studenti per esami universitari di matematica e fisica inscritti principalmente ad ingegneria ed economia.

Ho avuto modo di insegnare a gruppi più o meno numerosi, e ho tenuto corsi di matematica e fisica a livello universitario.

Si può dire che la didattica è la mia passione e ho deciso di creare questo sito per condividere materiale didattico e informazioni utili.

SERVIZI OFFERTI

– Lezioni private di ANALISI MATEMATICA, FISICA, ALGEBRA E GEOMETRIA, TEORIA DEI SEGNALI, per studenti universitari di INGEGNERIA e ECONOMIA.

– Consulenza per sviluppo tesi di laurea e analisi di dati attraverso software MATLAB.

– preparazione alla maturità scientifica

– soluzione di esercizi di MATEMATICA e FISICA in tempo reale direttamente con whatsapp

 

 

esercizi sugli integrali tripli – volume di solidi

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esercizi sugli integrali tripli – VOLUME DI SOLIDI

 

Esercizio 1

Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le \min \left[ 2-{{z}^{2}},z \right] \right\}\) .

Soluzione

Si osserva come prima cosa \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 0\) lungo tutto il piano di base.

E inoltre la funzione \(f\left( z \right)=\min \left[ 2-{{z}^{2}},z \right]\) può essere studiata graficamente:

il volume da calcolare è il solido di rotazione ottenuto facendo ruotare l’area verde intorno all’asse z

Con riferimento alla figura si ha che \(f\left( z \right)\) è rappresentato dalla curva rossa e quindi si può scrivere

\(f\left( z \right)=\left\{ \begin{align} & 2-{{z}^{2}}\,\,\,se\,\,z<-2\vee z>1\, \\ & z\,\,\,\,se\,\,-2\le z\le 1 \\ \end{align} \right.\)

Aggiungendo quindi la limitazione inferiore la condizione diventa \(0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le f\left( z \right)\), che fissato \(z\) rappresenta l’interno di una circonferenza di raggio \(\sqrt{f\left( z \right)}\) .

L’intersezione si ha soltanto nella regione in cui \(f\left( z \right)>0\) quindi \(z\in \left[ 0,\sqrt{2} \right]\).

L’integrale può essere calcolato per strati dove ciascuno strato è rappresentato da un cilindro di raggio \(\sqrt{f\left( z \right)}\) e altezza \(dz\) il cui volume è pari a \(dV=\pi f\left( z \right)dz\) , per cui l’integrale diventa:

\(V=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{dV}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{\pi f\left( z \right)dz}=\pi \int\limits_{0}^{1}{z\,\,dz}+\pi \int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( 2-{{z}^{2}}\, \right)\,dz}=\pi \left[ \frac{{{z}^{2}}}{2} \right]_{0}^{1}+\pi \left[ 2z-\frac{{{z}^{3}}}{3} \right]_{1}^{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}-7}{6}\pi \)

Esercizio 2

Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{y}^{2}}-{{x}^{2}}\le 1,\,\,\,-1\le x\le 1,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)

Soluzione

Le prime due condizioni \({{y}^{2}}-{{x}^{2}}\le 1,\,\,\,-1\le x\le 1,\) descrivono la superficie compresa tra l’iperbole e le rette di equazione \(x=-1\) e \(x=1\) . La terza condizione \(\,-1\le z\le 1\) è invece indipendente dalle altre 2. Pertanto l’insieme \(E\) è un solido avente sezione costante come quella disegnata in figura e lungo l’asse z va tra -1 e 1. Quindi il volume sarà pari all’area della sezione moltiplicata per l’altezza che quindi \(V=A\cdot \left( 1-0 \right)=A\)

il volume è il solido che si ottiene innalzando la superficie in figura

L’area della sezione è pari a \(A=\int\limits_{x=-1}^{1}{\int\limits_{y=-\sqrt{1+{{x}^{2}}}}^{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{\,dy}\,dx}=\int\limits_{x=-1}^{1}{2\sqrt{1+{{x}^{2}}}\,dx}=\)

\(\begin{align} & =\left[ x\,\sqrt{{{x}^{2}}+1}\,\,+\,\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right) \right]_{-1}^{1}=2\sqrt{2}+\ln \left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right)= \\ & =2\sqrt{2}+\ln \left( \frac{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}+1 \right)} \right)=2\sqrt{2}+2\ln \left( \sqrt{2}+1 \right)=V \\ \end{align}\)

Esercizio 3

Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\left( x,y \right)\in T,\,\,\,0\le z\le \frac{x}{x+y} \right\}\) con \(T\) triangolo di vertici \(A=\left( 1,0 \right),B=\left( 0,1 \right),C=\left( 1,2 \right)\)

Soluzione

integrazione per fili

Si può osservare che \(\frac{x}{x+y}\) è una quantità sempre positiva su \(T\) essendo posizionato nel quadrante in cui \(x>0,y>0\) , quindi c’è intersezione tra\({{f}_{1}}\left( x,y \right)=0\) e \({{f}_{2}}\left( x,y \right)=\frac{x}{x+y}\) lungo tutto il triangolo.

Il volume può essere calcolato integrando per fili, dove ciascun filo è rappresentato da un parallelepipedo di base \(dx\) e \(dy\) e altezza pari alla differenza tra le due funzioni tra cui è compresa la \(z\) . E quindi si ha che \(dV=\left[ {{f}_{2}}\left( x,y \right)-{{f}_{1}}\left( x,y \right) \right]dxdy\) e l’integrale diventa:

\(V=\iint\limits_{T}{dV}=\iint\limits_{T}{\frac{x}{x+y}dxdy}=\int\limits_{x=0}^{1}{\int\limits_{y=1-x}^{1+x}{\frac{x}{x+y}dxdy}}=\int\limits_{x=0}^{1}{\left[ x\ln \left( x+y \right) \right]_{1-x}^{1+x}dx}=\int\limits_{x=0}^{1}{x\ln \left( 1+2x \right)dx}=\frac{3\ln 3}{8}\)

Lezioni di analisi matematica 2 su whatsapp  a cura di Casparriello Marco

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Insiemi di numeri

Insiemi di numeri Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:   \(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}\) denota l’insieme dei numeri naturali. \(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi \(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è…

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